Дипломы, курсовые и рефераты!

1.2. ПРОСТІ І СКЛАДНІ ПРОЦЕНТИ Печать E-mail
Автор Oleg   
12.12.2013 г.
Простим процентом називається нарахування з теперішньої вартості вкладу в кінці одного періоду платежу, зумовленого умовами інвестування (місяць, квартал тощо).
Простий процент обчислюється за такою формулою (1.1):
I = Pіt, (1.1)
де I — величина прибутку власника інвестицій;
i — процентна ставка;
t — період часу інвестування;
P — первісна сума інвестиції (вкладу).
Сутність методу нарахування за простими процентами зводиться до того, що проценти нараховуються впродовж усього терміну інвестицій (кредиту) на ту саму величину капіталу, що інвестується. Наприкінці періоду t сума, одержувана інвестором, дорівнює P + I. Тоді:
S = P + I = P + Pit = P(1 + it). (1.2)
Величина (1 + it) зветься множником нарощування простих процентів.
При використанні простих процентів, коли термін угоди не дорівнює цілому числу років, період нарахування процентів виражається дробовим числом, тобто як відношення числа днів функціонування угоди до числа днів у році (1.3):
t=n/K, (1.3)
де n — число днів функціонування угоди;
К — часова база (кількість днів у році).
В цьому разі формула (1.2) набуде такого вигляду:
S=1+i*n/K (1.4)
В ряді країн для зручності обчислень рік триває 360 днів. Це так звана «німецька практика». Проценти, що розраховані за часовою базою K = 360 днів, називаються звичайними чи комерційними.
Існує також «французька практика», коли тривалість року К = 360 днів, а тривалість місяців за днями відповідає календарному обчисленню. І, нарешті, в цілій низці країн використовується «англійська практика», що враховує тривалість року К = 365 днів, а тривалість місяців року — згідно з календарним обчисленням.
При математичному дисконтуванні розв’язується задача, зворотна визначенню нарощуваної суми. Сформулюємо її таким чином: яку суму необхідно інвестувати на t років, щоб при нарахуванні на неї процентів за ставкою і отримати суму, що дорівнює S.
Використовуючи формулу (1.2) розрахунку нарощуваної суми за простою процентною ставкою, отримаємо:
P=S*1 / (1 + it)
де знаменник 1 / (1 + it) — дисконтний множник, що показує, в скільки разів первісна сума є меншою від нарощеної.
Випишемо низку похідних формул з формули (1.5):

Метод нарахування по складних процентах полягає в тому, що в першому періоді нарахування здійснюється на первісну суму інвестицій (кредиту), після цього вона складається з начисленим процентом і в кожному наступному періоді проценти нараховуються на вже нарощену суму. Тож база для нарахування процентів постійно змінюється.

● Приклад 1. Нарахування складних процентів
$2000 інвестуються під 12% річних на 10 років. Визначте суму, яка акумулюється наприкінці 10-го року.
Розв’язання. Використовуючи рівняння (1.7), отримаємо:
S10 = $2000(1 + 0.12)10 = $2000 (3.1058) = $ 6211.70.
Наприкінці десяти років можна отримати $6211.70.
Якщо впродовж терміну угоди процентні ставки змінюються в часі, але в певні терміни, то нарощена сума в цьому разі визначається за формулою:

Використання у фінансових розрахунках простих і складних процентів дає неоднакові результати. Відмінності в них зумовлені термінами угод. При рівній величині простої і складної процентної ставки (iп = iс) та при терміні позички (інвестування) меншому 1 року (n < 1), нарощена сума, обчислена за простими процентними ставками, буде більшою за нарощену суму, обчислену за складними процентами, тобто 1 + iп n > (1 + iс)n. При терміні угоди більшому за рік (n > 1) нарощування за складними процентами випереджає нарощування за простими, тобто (1 + iпn) < (1 + iс)n.
● Приклад 2. Співвідношення нарощених сум, обчислених за простими та складними процентами
Нехай проста і складна процентні ставки є рівними (іп = іс = і). Довести, що при n < 1 нарощена сума, що обчислена за простими процентами, буде більшою від нарощеної суми, обчисленої за складними процентами, а при n > 1 — навпаки.

Нерівність доведено.
Використовуючи множники нарощування за простими і складними процентними ставками, визначимо час, необхідний для збільшення первісної суми в N разів.
Щоб первісна сума P збільшилася в N разів, потрібно, щоб множники нарощування дорівнювали N, тобто:

● Приклад 3. Термін збільшення первісної суми інвестицій в N разів
Розрахуйте термін збільшення первісних сум інвестицій в 3 рази, використовуючи множники нарощування за простими та складними процентами. Річна процентна ставка — 6%.
Розв’язання. Для розрахунку терміну збільшення первісної суми інвестицій у 3 рази, використовуємо формули (1.9) та (1.10).
Для простої процентної ставки — 6% маємо (1.9):
n = (3 — 1)/0.06 = 2/0.06 = 33.3 років.
Для складної процентної ставки –6% маємо (1.10):
n=ln3/ln(1+0.06)=1.0986/0.0582=18.9 років.
Тож для збільшення первісної суми інвестицій у 3 рази при річній простій процентній ставці 6%, потрібні 33 роки і 4 місяці, а при річній складній процентній ставці 6% — 18 років та 11 місяців.
В депозитних угодах, у контрактах на отримання кредиту передбачається капіталізація процентів декілька разів на рік по півріччях, кварталах, інколи щомісячно. Однак квартальні чи місячні процентні ставки не вказуються, а вказується річна процентна ставка, яку називають номінальною. Крім того, зазначається кількість періодів нарахування процентів на рік — m. Якщо n —кількість років, то R = mn — кількість періодів нарахування процентів за весь термін угоди (контракту). Тоді для нарахування відсотків m разів на рік використовується формула (1.11):

● Приклад 4. Нарахування нарощеної суми за складними процентами
Інвестор вклав $3000 в банк при 10% річних на 5 років на умові нарахування складних процентів щокварталу. Яку суму він отримає в кінці 5-річного періоду?
Розв’язання. Використовуючи формулу (1.11), отримаємо:

Ефективна ставка вимірює той реальний відносний прибуток, що одержує кредитор (інвестор) у цілому за рік. Ефективна ставка, іншими словами, відповідає на питання, яку річну ставку складних процентів необхідно встановити, щоб отримати такий самий фінансовий результат, як і при m-разовому нарахуванні процентів за рік за ставкою i/m.
Позначимо ефективну ставку Iе.
Рівність нарощуваних сум буде забезпечена в тому разі, якщо рівні первісні суми P, періоди нарощування n і множники нарощування, тобто:

● Приклад 5. Визначення ефективної ставки складних процентів
Визначити ефективну ставку складних процентів з тим, щоб отримати таку ж нарощену суму, як при використанні номінальної ставки і = 20% при щоквартальному нарахуванні процентів (m = 4).
Розв’язання. Використовуємо формулу (1.12):

Таким чином, ефективна ставка складних процентів дорівнює 21.55%.
Последнее обновление ( 20.12.2013 г. )
 
« Пред.   След. »


© 2017 Дипломы, курсовые и рефераты!
Сайт создан: 11.2008
Автор: Джигора Олег dzhigora@gmail.com